Задатак је намењен ученицима основне и средње школе. У основној школи могуће је интуитивно решити задатак, уочавајући правило по којем се увећава броја заражених, док се у средњој школи може искористити приликом изучавања геометријске прогресије или експоненцијалне функције.
Текст
Ако свака особа заражена вирусом зарази тачно две особе, у првом кораку биће 1+2, односно три заражене особе. У другом кораку 1+2+4, тј. седам заражених особа. Колико ће заражених особа бити после трећег и четвртог корака? После колико корака ће број заражених бити већи од 1000?
Решење
1. После трећег корака биће: 1+2+4+8=15 заражених особа.
2. После четвртог корака биће: 1+2+4+8+16=15+16=31 зараженa особа.
3. Број заражених ће прећи број 1000 после деветог корака. Након деветог корака број заражених особа ће бити: 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023.
Геометријски низ
Приметимо да је низ броја новозаражених заправо следећи низ бројева: 1, 2, 4, 8, 16,..., односно 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, ... Можемо закључити да овај низ бројева чини геометријску прогресију при чему је први члан b_1=2^0=1, а количник q=2.
Укупан број заражених, при чему је k\in N корак, је:
k=0, S_1=b_1=1
k=1, S_2=b_1+b_2=1+2=3
k=2, S_3=b_1+b_2+b_3=1+2+4=7
Како је укупан број заражених једнак суми свих чланова у геометријској прогресији можемо је одредити и према према обрасцу S_n=\frac{q^n-1}{q-1}, n\in N.
Сада је укупан број заражених S_n, при чему је k=n-1, редом:
k=0, n=1, S_1=\frac{2^1-1}{2-1}=\frac{1}{1}=1
k=1, n=2, S_2=\frac{2^2-1}{2-1}=\frac{3}{1}=3
k=2, n=3, S_3=\frac{2^3-1}{2-1}=\frac{7}{1}=7
С обзиром да се тражи после ког корака ће број заражених бити већи од 1000, потребно је одредити k, односно n, тако да важи следећа неједнакост:
S_n=\frac{2^n-1}{2-1}>1000
2^n-1>1000
2^n>1001, n\in N
n\in \{10 ,11, 12, ... \}
k\in \{9 ,10, 11, ... \}
Из наведеног можемо закључити да ће број заражених прећи број 1000 после деветог корака.
Функција
Укупан број заражених можемо изразити и помоћу функције. Како је k=n-1, односно n=k+1, следи:
S_n=\frac{2^n-1}{2-1}
S_n=2^n-1
S_k=2^{k+1}-1
Зависност укупног броја заражених од броја корака можемо представити функцијом.
f(x)=2^{x+1}-1Како је функција експоненцијална, очекивано је график експоненцијална крива.
