Фагнанов проблем

Проблем

Италијански математичар Фагнано (I.F.Fagnano) је 1755. године поставио следећи проблем:
За дати оштроугли троугао одредити троугао најмањег обима чија темена леже на страницама тог троугла.
Његово оригинално решење се базира на рачуну. Међутим, када је решење постало познато уследила су неколико једноставна геомтеријска решења. Шварцово (H.A.Shwarz) је једно од најчешће цитираних.

Шварцово решење

Нека је дат \triangle ABC и нека је \triangle PQR троугао чија су темена подножја висина тог троугла, а \triangle MNK произвољан троугао чија темена леже на страницама троугла \triangle ABC.
Пресликајмо сада троугао \triangle ABC композицијом осних рефлексија на следећи начин (слика 1):
S_{CB} \circ S_{CA} \circ S_{BA} \circ S_{BC} \circ S_{AC} (\triangle ABC)


Слика 1.

Приметимо да је финална позиција странице AB паралелна оргиналној позицији. Штавише, и орјентација је задржана. То следи из чињенице да смо уствари страницу AB најпре заротирали за угао 2\alpha у позитивном смеру, затим за угао 2\beta такође у позитивном смеру, а затим за угао 2\alpha и 2\beta у негативном смеру.

Како су темена троугла \triangle PQR подножја висина троугла \triangle ABC важи да је угао \angle PQC једнак углу \angle RQA, а самим тим и угловима \angle CQP_{1} и \angle AQR_{1}. Због тога су тачке R, Q и P_{1} три коолинеарне тачке. Слично важи и за остале рефлексије па је мера дужи PP^{‘} једнака двоструком обиму троугла \triangle PQR.

Примедба

Углови \angle HA_{1}C и \angle HB_{1}C су једнаки и прави. Стога је њихов збир једнак опруженом углу, па је четвороугао HA_{1}CB_{1} тетиван четворугао (слика 2).


Слика 2.

Како се око тетивног четвороугла може описати кружница, то су углови \angle HA_{1}B_{1} и \angle B_{1}CH једнаки јер су они периферијски углови над истом тетивом у том кругу.

Будући да је угао \angle C_{1}AC допуна угла \angle C_{1}CA до правог угла, као и угао \angle B_{1}A_{1}C угла \angle AA_{1}B они су подударни тј. \angle A \cong \angle B_{1}A_{1}C.

Слично се показује да је \angle A \cong \angle C_{1}A_{1}B, па је \angle C_{1}A_{1}B \cong \angle B_{1}A_{1}C.

Будући да су странице AB у почетном и крајњем положају паралелне (слика 1), дужи RK и R’K' су паралелне и једнаке (осна рефлексија чува растојање међу тачкама). Стога је четвороугао RKK’R' паралелорам, а дужи су RR' и KK' подударне. Међутим, како је дужина изломљене линије KK', која је једнака двоструком обиму троугла \triangle MNK мања или једнака дужини дужи KK', а самим тим и од дужине дужи RR'. Из свега тога закључујемо да је обим троула \triangle PQR мањи или једнак од обима троугла \triangle MNK.

2O_{\triangle PQR}=|RR’|=|KK’| \leq 2O_{\triangle MNK}

 

O_{\triangle PQR} \leq O_{\triangle MNK}

 

Референце

1. R. Courant and H.Robbins, What is Mathematics?, Oxford Uneversity Press, NY, 1996.
2. Alexander Bogomolny, Fagnanov problem, www.cut-theknot.com

Софтвер
Слике су урађене помоћу програма WinGCLC.

Aутор
Оливер Петковић, Април 2005.

Оставите одговор

Ваша адреса е-поште неће бити објављена. Неопходна поља су означена *